Bem-vindos!

    Sejam bem-vindos ao Mathematique, um blog que tratará de diversos assuntos dessa nobre arte da matemática e outras ciências ditas exatas. Esse blog é um desejo antigo meu, portanto, espero que gostem e ele sirva ao que se propõem: ajudar no estudo de ciências exatas.

    Como utilizar da melhor maneira o blog?
   O blog é elaborado para servir de um grande repositório de questões de matemática e física, bem como postagens sobre teorias, história e curiosidades do dia dia envolvendo as duas ciências. Os assuntos estão divididos por tópicos no menu ao lado, desta maneira fica mais fácil encontrar o assunto que você deseja estudar. Por exemplo: Se você quiser treinar fazer questões do assunto "Conjuntos", você vai no menu e procura "Questão Conjuntos" e o blog irá mostrar todas as questões desse tópico e suas respostas. Em cada tópico, as questões estão organizadas por título, por exemplo "Questão 07 - Teoria dos números". Quanto maior o número da questão no título maior será o nível de dificuldade (Normalmente), portanto recomendo que comece das questões menores para as maiores (começar pela 01 de cada tópico). No início das questões está indicado de qual prova era a questão para que você possa procurar por questões que mais interessam, por exemplo, questões apenas da "UFPA".

    Procurarei sempre responder aos comentários e dúvidas sobre questões e teorias o mais rápido possível. O blog será atualizado diariamente. O objetivo desse blog é ajudar você na aprovação em vestibulares (ENEM, UFPA, UEPA, IFPA, UFRA, USP, etc.), concursos militares (Colégio Naval, Escola Naval, IME, ITA), concursos públicos e até nos estudos para olimpíadas de matemática (OBM e OBMEP) e física (OBF). Bons estudos!

Questão 10 - Funções

(UFV-1998) Seja a função $f$ definida no conjuntos dos naturais, dada por $f(n+1)= \frac{f(n)}{3}, \ \ f(0)=2$. a) Calcule $f(5)$. b) Qual o menor valor de $n$ para o qual $f(n) < \frac{1}{90}$?

Solução:

a) Testando a fórmula para $n={0,1,2}$ nota-se uma recorrência: $f(1)= \frac{f(0)}{3}$, $f(2)= \frac{f(1)}{3}= \frac{f(0)}{3^2}$ e $f(3)= \frac{f(2)}{3}= \frac{f(0)}{3^3}$. Então a fórmula geral é $f(n)= \frac{f(0)}{3^n}$. Logo: $f(5)= \frac{2}{3^5}$.
b) $$f(n)< \frac{1}{90} \rightarrow \frac{2}{3^n} < \frac{1}{90} \rightarrow 2 \times 90 < 3^n \rightarrow 3^n > 180$$ Então $n=5$.

Questão 09 - Funções

(UFV-1998) Sejam $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $f(x)=-x^2+4x$ e $g(x)=2x$. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de $fog$ e $gof$. Calcule a área desse triângulo.

Solução:

(1) $fog(x)=f(g(x))=-(2x)^2+4 \times 2x=-4x^2+8x$ o valor máximo da função ocorre quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-4)}=1$, ou seja, $fog_{max}=-4 \times 1^2+8 \times 1=4$
(2) $gof=g(f(x))=2(-x^2+4x)=-2x^2+8x$ o valor máximo será quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-2)}=2$, ou seja, $gof_{max}=-2 \times 2^2+8 \times 2=8$
(3) Com catetos $8$ e $4$, a área $A$ do triângulo retângulo é $A= \frac{4 \times 8}{2}=16$

Questão 08 - Funções

(Ciaba-2000) O valor de $m$ na equação $f(x)= x^2-6x+m$ a fim de que uma raiz seja o dobro da outra é: a) $m=12$   b) $m=8$   c) $m=5$    d) $m=4$    e) $m=3$

Resposta letra b.

Solução:

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes. Tomando $x_1=2x_2$ e escrevendo as relações de raízes com os coeficientes da equação do segundo grau:
$\{\begin{array}{ll}x_1+x_2=6\\x_1 \times x_2 =m\end{array} \rightarrow^{x_1=2x_2} \{\begin{array}{ll}x_1+2x_1=6\\x_1 \times 2x_1 =m\end{array} \rightarrow \{\begin{array}{ll}3x_1=6 \rightarrow x_1=2\\2x_1^2 =m \rightarrow m=2 \times 2^2 =8\end{array}$

Questão 07 - Funções

(Ciaba-2005) O intervalo onde a função $f(x)=\frac{ax-2}{ax^2-x}$, com $a \in \mathbb{R}_-^*$, apresenta sinal positivo é a) $]- \infty, \frac{2}{a}[$    b) $]\frac{1}{a}, 0[$    c) $[\frac{1}{a}, + \infty[$    d) $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$    e) $[\frac{2}{a}, 0[$

Resposta letra d.

Solução:

Para a função ser positiva a primeira possibilidade é ambos denominador e numerador serem positivos:
$$ax-2 \geq 0 \rightarrow ax \geq 2 \rightarrow x \leq \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow \frac{1}{a} < x < 0$$ Os dois conjuntos não possuem interseção portanto não há valor de x para essa condição. A segunda possibilidade é ambos numerador e denominador serem negativos o que torna a função positiva. Logo:
$$ax-2 > 0 \rightarrow ax > 2 \rightarrow x > \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow x > 0 \ \ e \ \ x < \frac{1}{a}$$ A interseção dos dois últimos conjuntos é $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$

Questão 06 - Funções

(Unicap-1997) Seja uma função do tipo $f(x)=a x^2 + b x + c$, tal que $f(2x-3)=4 x^2 +5$, qualquer que seja o valor de $x$ real. Determine o valor de $c$.

Solução:

Fazendo $x'= (x+3)/2$ e substituindo esse valor na função tem-se:
$f(x)=4((x+3)/2)^2+5=(x+3)^2+5=x^2+6x+9+5=x^2+6x+14$ Então $c=14$.

Questão 05 - Funções

(Unicap-1996) Se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função não nula, ímpar e periódica de período $p$, então: 0) $f(p)=0$ 1) $f(-x)=f(x-p)$ 2) $f(x)=-f(-x)$ 3) $f(-x)=-f(x+p)$ 4) $f(0)=0$

Solução:

0) Como a função $f$ é periódica então $f(x)=f(x \pm p)$. Fazendo $x=0$ então $f(\pm p)=f(0)$. Como a função é ímpar então $f(-x)=-f(x)$, para $x=0, \ \ f(0)=-f(0)$ $\rightarrow 2f(0)=0 \rightarrow f(0)=0$, portanto, $f(p)=0$. (correta)
1) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x-p)$. (incorreta)
2) Esta alternativa é simplesmente a definição de função ímpar. (correta)
3) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x+p)$. (correta)
4) Esta alternativa está explicada no item 0. (correta)

Questão 04 - Funções

(UFPB-1994) Considere as funções $f$ e $g$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)= \{\begin{array}{ll}g(x+2),\ \ se\ \ x<0\\2x+5,\ \ se\ \  x\geq 0\end{array} \ \ g(x)= \{\begin{array}{ll}f(x+1),\ \ se\ \ x<0\\x^2,\ \ se\ \  x\geq 0\end{array}$$ Calcule $f(-3)$.

Solução:

$$x=-3<0, \ \ f(-3)=g(-3+2)=g(-1)$$ $$x=-1<0, \ \ g(-1)=f(-1+1)=f(0)$$ $$x=0 \geq 0, \ \ f(0)=2 \times 0 + 5=5$$

Questão 03 - Funções

(UFPB-1997) Sejam $f$ e $g$ funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tais que $f(g(x))=2x$ e $f(x)=4x+1$. Calcule $g(1)$.

Solução:

Substituindo $g(x)$ na função $f(x)$, tem-se:
$$f(g(x))=4g(x)+1=2x \rightarrow g(x)=(2x-1)/4$$ Fazendo $x=1$: $g(1)=(2 \times 1-1)/4=1/4$

Questão 02 - Funções

(PUC-MG-1993) O teto com um túnel parabólico com eixo de simetria vertical, tem altura máxima de 6 m e largura da base igual a 4 m. Calcule a altura do teto do túnel a 1 m do eixo de simetria.

Solução:

Tomando um eixo de coordenadas onde eixo y coincide com o de simetria da parábola e o eixo x com a base, conforme figura, tem-se que as raízes da parábola serão $x=2$ e $x=-2$. A equação da parábola será da forma $y=a(x-2)(x+2) \ \ (i)$. Para descobrir o $a$ basta tomar o ponto $(x,y)=(0,6)$:
$$(0,6) \ \ em \ \ (i): 6=a \times 2 \times (-2) \rightarrow 6=(-4) \times a \rightarrow a=-3/2$$ A altura $y$ a 1 metro do eixo de simetria ($x=1$ ou $x=-1$), tem-se que o valor de $y$ é: $$y=(-3/2) \times (-1) \times 3 = 9/2 = 4,5 \ \ m$$

Questão 01 - Funções

(UFES-2005) Sendo $f$ uma função definida por $f(x-1)=2f(x)+f(x+1)$, tal que $f(0)=2$ e $f(1)=-1$, o valor de $|f(3)|$ é: a) 1         b) 3       c) 16       d) 8       e) 9

Resposta letra e.

Solução:

Fazendo $x=1$ na recorrência dada e substituindo os valores fornecidos, tem-se:

$x=1 \rightarrow f(0)=2f(1)+f(2) \rightarrow f(2)=f(0)-2f(1)=2-2 \times (-1)=4$

Agora fazendo $x=2$:

$x=2 \rightarrow f(1)=2f(2)+f(3) \rightarrow f(3)=f(1)-2f(2)=-1-2 \times 4=-9 \rightarrow |f(3)|=9$

Questão 12 - Conjuntos

(ESPM-2004) Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60;         b) 80;       c) 100;       d) 120;       e) 140

Resposta letra b.

Solução:

Denominando os conjuntos por $A=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ A\}$, $B=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ B\}$ e $N=\{x|x \ \ não \ \ lê \ \ jornal\}$, tem-se que:
$\therefore n(A \cup B) = n(U) - n(N) = 800 - 120 = 680 $ $\ \ ; \ \ \{\begin{array}{ll}n(A) = 0,35 \times 800 = 280\\n(B) = 0,60 \times 800 = 480\end{array}$
Da fórmula de número de elementos da união de conjuntos: $\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \rightarrow 680 = 480 + 280 - n(A \cap B)$ $\rightarrow n(A \cap B) = 760 - 680 = 80$

Questão 11 - Conjuntos

(EEAR-2004) No diagrama, a região em verde é o conjunto: a) complementar de $(M \cup N)$ em relação a U. b) complementar de $(M-N)$ em relação a U. c) complementar de $(M \cap N)$ em relação a U. d) $(M-N) \cup (N-M))$

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto em verde é complementar do conjunto em branco. O conjunto em branco é descrito como $\{x|x \in M \ \ e \ \ x \notin N\}=M \cap \overline{N}=M-N$, logo, o conjunto é complementar de $M-N$.

Questão 10 - Conjuntos

(EEAR-2004) A região assinalada no diagrama corresponde a: a) $(B \cup C) \cap A$                          b) $(B \cap C) \cup A$ c) $(A-B) \cap C$                          d) $C-(A \cap B)$

Resposta letra c.

Solução:

A região colorida pode ser descrita em termos de conjuntos da seguinte maneira $M = \{x | (x \in A \ \ e \ \ x \in C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \{x | (x \in A \cap C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \overline{B} \cap (A \cap C)$ $\rightarrow (A \cap \overline{B}) \cap C = (A-B) \cap C$.

Questão 09 - Conjuntos

(UFPE-2003) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados, consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: - 310 pessoas compram o produto A; - 220 pessoas compram o produto B; - 110 pessoas compram os produtos A e B; - 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Indique o número de consumidores entrevistados divididos por 10.

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando a fórmula para calcular o número de elementos da união do conjunto dos que compraram produto A (Conjunto A) com o conjunto dos que compraram produto B (Conjunto B), tem-se:
$\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \ \ \rightarrow \ \ n(A \cup B) = 310 + 220 - 110 = 420 $
O número total de pessoas que compraram algum produto é 420. O número total de entrevistados será 420 + 510 = 930 pessoas.

Questão 08 - Conjuntos

(Ciaba-1996) Dados os conjuntos: $A=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x \leq 4\}$ $B=\{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x < 3\}$ $C=\{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5\}$ $D=\{x \in \mathbb{R} |  x \geq 0\}$ O resultado de $(A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B)$ é:  a) $[3,4]$        b) $]-2,-1[ \cup [3,4]$      c) $[-2,-1] \cup [3,5[$      d) $]-2,4] \cup [5,+\infty[$ e) $]-3,-1]$

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando álgebra de conjuntos na expressão que se deseja saber o resultado, tem-se:
$\therefore (A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B) = [A \cap (C-B)] \cup [D \cap (A-B)] = [A \cap (C \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})]$ $ \rightarrow [C \cap (A \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})] = (C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})$

Analisando os conjuntos fornecidos tem-se que $C \cup D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq -3\}$. $\overline{B}=\{x < -1 \ \ e \ \ x \geq 3\}$ o que faz com que $A \cap \overline{B}=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$, logo, $(C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$ ou $]-2,-1[ \cup [3,4]$.

Questão 07 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja os conjuntos $A = \{ x \in \mathbb{N} | \ \ x \ \ é \ \ múltiplo \ \ de \ \ 2 \}$, $B = \{ x \in \mathbb{Z} | -2 < x \leq 9 \}$ e $C = \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 5 \}$. A soma dos elementos que formam o conjunto $(A \cap B)-C$ é: a) 9       b) 6       c) 3      d) 1

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto $A$ é formado por todos os pares tal que em intersecção com o conjunto $B$ forma $A \cap B = \{2,4,6,8\}$. O conjunto $C$ é formado por todos os reais maiores ou iguais a 5 o que faz com que $(A \cap B)-C = \{2,4\}$, logo, a soma dos elementos é 6.

Questão 06 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja $P$ o conjunto dos retângulos, $Q$ o conjunto dos quadrados e $L$ o conjunto dos losangos. É correto afirmar que: a) $L \cap P = L - P$        b) $L \cap Q = L - Q$         c) $L \cap Q = P$        d) $L \cap P = Q$

Resposta letra d.

Solução:

Definição de Retângulo: quadrilátero cujo ângulos são retos. Definição de Quadrado: quadrilátero que tem os lados e ângulos iguais. Definição de Losango: quadrilátero cujo lados são iguais. Segundo essas definições pode-se concluir que: $(i) \ \ Q \subset L$ e $(ii) \ \ Q \subset R$. Logo, $L \cap P = Q$.

Questão 05 - Conjuntos

(EEAR-2002) Dados os conjuntos $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ e $C=\{1,2,5\}$. Ao determinar o conjunto $M$, tal que: $A \cup M  =  \{1,2,3,4\}$, $B \cup M  =  \{3,4,5\}$ e $C \cup M  =  A \cup B$, pode-se concluir que $M$ é um conjunto: a) vazio        b) unitário        c) que possui dois elementos        d) que possui três elementos

Resposta letra c.

Solução:

Comparando os conjuntos $A \cup M$ e $B \cup M$ nota-se que $1 \notin M$ pois caso estivesse este elemento apareceria em $B \cup M$. Podemos concluir também dessa comparação que $5 \notin M$ pois caso pertencesse este elemento apareceria em $A \cup M$. O conjunto $A \cup B$ é ${1,2,3,4,5}$, então $(C \cup M)-C=\{3,4\}$, logo $C=\{3,4\}$.

Questão 07 - Teoria dos Números

(Rio Grande do Norte-2001) Existem quantos inteiros positivos de dois algarismo que a diferença entre o inteiro e o produto de seus algarismos seja 12?

Solução:

$\therefore (ab)_10 - a \times b = 12 \rightarrow (10a+b)-a \times b = 12 \rightarrow a(10-b)+b=12 \rightarrow a(10-b)+b-10=2$ $$ (10-b)(a-1)=2 \ \ (i) $$
Analisando (i) pode-se concluir que existem duas possibilidades:
\begin{cases} 10-b=2 \rightarrow b=8\\ a-1=1 \rightarrow a=2 \end{cases}
\begin{cases} 10-b=1 \rightarrow b=9\\ a-1=2 \rightarrow a=3 \end{cases}