Questão 12 - Conjuntos

(ESPM-2004) Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60;         b) 80;       c) 100;       d) 120;       e) 140

Resposta letra b.

Solução:

Denominando os conjuntos por $A=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ A\}$, $B=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ B\}$ e $N=\{x|x \ \ não \ \ lê \ \ jornal\}$, tem-se que:
$\therefore n(A \cup B) = n(U) - n(N) = 800 - 120 = 680 $ $\ \ ; \ \ \{\begin{array}{ll}n(A) = 0,35 \times 800 = 280\\n(B) = 0,60 \times 800 = 480\end{array}$
Da fórmula de número de elementos da união de conjuntos: $\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \rightarrow 680 = 480 + 280 - n(A \cap B)$ $\rightarrow n(A \cap B) = 760 - 680 = 80$

Questão 11 - Conjuntos

(EEAR-2004) No diagrama, a região em verde é o conjunto: a) complementar de $(M \cup N)$ em relação a U. b) complementar de $(M-N)$ em relação a U. c) complementar de $(M \cap N)$ em relação a U. d) $(M-N) \cup (N-M))$

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto em verde é complementar do conjunto em branco. O conjunto em branco é descrito como $\{x|x \in M \ \ e \ \ x \notin N\}=M \cap \overline{N}=M-N$, logo, o conjunto é complementar de $M-N$.

Questão 10 - Conjuntos

(EEAR-2004) A região assinalada no diagrama corresponde a: a) $(B \cup C) \cap A$                          b) $(B \cap C) \cup A$ c) $(A-B) \cap C$                          d) $C-(A \cap B)$

Resposta letra c.

Solução:

A região colorida pode ser descrita em termos de conjuntos da seguinte maneira $M = \{x | (x \in A \ \ e \ \ x \in C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \{x | (x \in A \cap C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \overline{B} \cap (A \cap C)$ $\rightarrow (A \cap \overline{B}) \cap C = (A-B) \cap C$.

Questão 09 - Conjuntos

(UFPE-2003) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados, consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: - 310 pessoas compram o produto A; - 220 pessoas compram o produto B; - 110 pessoas compram os produtos A e B; - 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Indique o número de consumidores entrevistados divididos por 10.

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando a fórmula para calcular o número de elementos da união do conjunto dos que compraram produto A (Conjunto A) com o conjunto dos que compraram produto B (Conjunto B), tem-se:
$\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \ \ \rightarrow \ \ n(A \cup B) = 310 + 220 - 110 = 420 $
O número total de pessoas que compraram algum produto é 420. O número total de entrevistados será 420 + 510 = 930 pessoas.

Questão 08 - Conjuntos

(Ciaba-1996) Dados os conjuntos: $A=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x \leq 4\}$ $B=\{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x < 3\}$ $C=\{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5\}$ $D=\{x \in \mathbb{R} |  x \geq 0\}$ O resultado de $(A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B)$ é:  a) $[3,4]$        b) $]-2,-1[ \cup [3,4]$      c) $[-2,-1] \cup [3,5[$      d) $]-2,4] \cup [5,+\infty[$ e) $]-3,-1]$

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando álgebra de conjuntos na expressão que se deseja saber o resultado, tem-se:
$\therefore (A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B) = [A \cap (C-B)] \cup [D \cap (A-B)] = [A \cap (C \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})]$ $ \rightarrow [C \cap (A \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})] = (C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})$

Analisando os conjuntos fornecidos tem-se que $C \cup D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq -3\}$. $\overline{B}=\{x < -1 \ \ e \ \ x \geq 3\}$ o que faz com que $A \cap \overline{B}=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$, logo, $(C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$ ou $]-2,-1[ \cup [3,4]$.

Questão 07 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja os conjuntos $A = \{ x \in \mathbb{N} | \ \ x \ \ é \ \ múltiplo \ \ de \ \ 2 \}$, $B = \{ x \in \mathbb{Z} | -2 < x \leq 9 \}$ e $C = \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 5 \}$. A soma dos elementos que formam o conjunto $(A \cap B)-C$ é: a) 9       b) 6       c) 3      d) 1

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto $A$ é formado por todos os pares tal que em intersecção com o conjunto $B$ forma $A \cap B = \{2,4,6,8\}$. O conjunto $C$ é formado por todos os reais maiores ou iguais a 5 o que faz com que $(A \cap B)-C = \{2,4\}$, logo, a soma dos elementos é 6.

Questão 06 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja $P$ o conjunto dos retângulos, $Q$ o conjunto dos quadrados e $L$ o conjunto dos losangos. É correto afirmar que: a) $L \cap P = L - P$        b) $L \cap Q = L - Q$         c) $L \cap Q = P$        d) $L \cap P = Q$

Resposta letra d.

Solução:

Definição de Retângulo: quadrilátero cujo ângulos são retos. Definição de Quadrado: quadrilátero que tem os lados e ângulos iguais. Definição de Losango: quadrilátero cujo lados são iguais. Segundo essas definições pode-se concluir que: $(i) \ \ Q \subset L$ e $(ii) \ \ Q \subset R$. Logo, $L \cap P = Q$.

Questão 05 - Conjuntos

(EEAR-2002) Dados os conjuntos $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ e $C=\{1,2,5\}$. Ao determinar o conjunto $M$, tal que: $A \cup M  =  \{1,2,3,4\}$, $B \cup M  =  \{3,4,5\}$ e $C \cup M  =  A \cup B$, pode-se concluir que $M$ é um conjunto: a) vazio        b) unitário        c) que possui dois elementos        d) que possui três elementos

Resposta letra c.

Solução:

Comparando os conjuntos $A \cup M$ e $B \cup M$ nota-se que $1 \notin M$ pois caso estivesse este elemento apareceria em $B \cup M$. Podemos concluir também dessa comparação que $5 \notin M$ pois caso pertencesse este elemento apareceria em $A \cup M$. O conjunto $A \cup B$ é ${1,2,3,4,5}$, então $(C \cup M)-C=\{3,4\}$, logo $C=\{3,4\}$.

Questão 04 - Conjuntos

(Ciaba-1995) Seja $ A= [3,4[ $, $ B= [-1,5[ $ e $ C= ]2,5[ $. O Conjunto $ \complement _B A \cup (C - A)$ é: a) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x < 3  \cup  4 \leq x < 5 \}$ b) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 < x \leq 3  \cup  4 \leq x \leq 5 \}$ c) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x \leq 3  \cup  4 < x \leq 5 \}$ d) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 < x < 3  \cup  4 < x < 5 \}$ e) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x \leq 3  \cup  4 \leq x \leq 5 \}$

Resposta letra a.

Solução:

O Conjunto $\complement _B A$ é igual a $B-A$, ou seja, $[1,3[ \cup [4,5[$. Já o Conjunto $C-A$ é igual a $\emptyset$. Logo, a expressão fica: $ \complement _B A \cup (C - A) = \complement _B A \cup \emptyset = \complement _B A $.

Questão 03 - Conjuntos

(Ciaba-1994) Seja $ A= \{1,\{2\},\{1,2\}\}$. Considere as afirmações: (I)   $1 \in A$ (II)  $2 \in A$ (III)  $\emptyset \in A$ (IV)  $\{1,2\} \subset A$ Estão corretas as afirmações: a) I e II     b) I e III     c) III e IV d) III         e) I

Resposta letra e.

Solução:

Analisando cada item:
(I) O elemento 1 pertence ao conjunto A. (correta)
(II) O elemento 2 não pertence ao conjunto A e sim o elemento {2}. Importante notar que $2 \neq \{2\}$, pois o primeiro é um número e o segundo um conjunto. (errada)
(III) $ \emptyset $ não pertence ao conjunto A. Todo conjunto $ \emptyset $ está contido a um conjunto qualquer, no entanto, para pertencer ele deveria estar na lista, por exemplo: $A= \{1,\{2\},\{1,2\},\{\}\}$ ou $A= \{1,\{2\},\{1,2\},\emptyset\}$ (errada)
(IV) O conjunto $\{1,2\}$ não está contido no conjunto pois, embora o elemento 1 pertença a A, o elemento 2 não pertence (vide explicação II). (errada)

Questão 02 - Conjuntos

(Cefet/PR-2004) Marque a alternativa que possui a expressão que representa a região sombreada no Diagrama de Venn abaixo: a)  $ (A \cup B) \cap (A \cup C) $ b)  $ (A \cap B) \cup (A \cup C) $ c)  $ (A \cup B) \cup A  $ d)  $ A \cup (B \cup C)  $ e)  $ (A \cup B) \cap (B \cup C) $

Resposta letra a.

Solução:

Analisando as alternativas dadas pode-se perceber que a alternativa a representa corretamente a área sombreada simplesmente utilizando a propriedade distributiva de conjuntos na expressão fornecida: $ (A \cup B) \cap (A \cup C) \leftrightarrow A \cup (B \cap C)$

Questão 01 - Conjuntos

(Cefet/PR-2003) Dados os conjuntos $ A= \{1,2,3,4,5\}$; $B=\{4,5,6,7\}$; $C-A=\{7,8,9\}$; $C-B=\{3,8,9\}$; e $ A \cap B \cap C=\{4\}$ , o número de elementos do conjunto C é: a) 6     b) 7     c) 3     d) 4     e) 5

Resposta letra e.

Solução:

De $C-A=\{7,8,9\}$ concluí-se que os elementos 7,8 e 9 pertencem ao conjunto C. Da mesma forma, pode-se concluir de $C-B=\{3,8,9\}$ que o elemento 3 também pertence ao conjunto C. Segundo a afirmação $ A \cap B \cap C=\{4\}$ tem-se que o único elemento em comum aos 3 conjuntos é o 4 (eliminando assim a possibilidade do 5 fazer parte de C). Desta forma, o conjunto C é: $C=\{3,4,7,8,9\}$.