Questão 07 - Teoria dos Números

(Rio Grande do Norte-2001) Existem quantos inteiros positivos de dois algarismo que a diferença entre o inteiro e o produto de seus algarismos seja 12?

Solução:

$\therefore (ab)_10 - a \times b = 12 \rightarrow (10a+b)-a \times b = 12 \rightarrow a(10-b)+b=12 \rightarrow a(10-b)+b-10=2$ $$ (10-b)(a-1)=2 \ \ (i) $$
Analisando (i) pode-se concluir que existem duas possibilidades:
\begin{cases} 10-b=2 \rightarrow b=8\\ a-1=1 \rightarrow a=2 \end{cases}
\begin{cases} 10-b=1 \rightarrow b=9\\ a-1=2 \rightarrow a=3 \end{cases}

Questão 06 - Teoria dos Números

(São Paulo-1997) Prove que se o quadrado de um número de dois algarismos, escrito na base 10, é subtraído do quadrado do número formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa, então o resultado é um número divisível por 11.

Solução:

Deve-se provar que $(ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = 11k$, onde $k \in \mathbb{Z}$.
$$\therefore (ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = (10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (100a^2+20ab+b^2) - (100b^2+20ba+a^2) =$$ $$100(a^2-b^2)+(b^2-a^2) = (a^2-b^2)(100-1) = 99(a^2-b^2) = 11 \times 9(a^2-b^2) = 11k, k \in \mathbb{Z}$$

Questão 05 - Teoria dos Números

(Goiás-1987) Determine a soma dos algarismos do número $(99...995)^2$, onde o número $99...995$ tem $99$ dígitos iguais a $9$.

Solução:

$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (99 \cdots 995)^2 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} = (\begin{matrix} \underbrace{ 10 \cdots 00 } \\ 100 \ \ 0's \end{matrix} - 5)^2 = (10^{100} - 5)^2 = (10^{100})^2 - 2 \times 5 \times 10^{100} + 5^2 =$

$\rightarrow 10^{200} - 10^{101} + 25 = \begin{matrix} \underbrace{ 99 \cdots 99 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} 000 \cdots 25$

Desta forma, a soma dos dígitos é $99 \times 9 + 2 + 5 = 898$.

Questão 04 - Teoria dos Números

(Brasília-1986) Determine um número de 4 dígitos, sabendo que seus dois primeiros dígitos são iguais, que seus dois últimos dígitos também são iguais e que o número é um quadrado perfeito .

Solução:

Segundo a informação dada na questão tem-se que:
$$\therefore (aabb)_{10} = X^2 \rightarrow 1100\times a + 11\times b=X^2 \rightarrow 11\times(100 \times a + b) = X^2$$ $$11 \times (a0b)_{10} = X^2 (i)$$ Para que (i) seja um quadrado perfeito então $(a0b)_{10}$ deve ser da forma $11\times q^2 (ii)$, onde $q \in \mathbb{Z}$.O inteiro $q^2$ é um quadrado perfeito de dois dígitos, pois após multiplicar por 11 o número final deve ter 3 dígitos e ser da forma $(a0b)_{10}$. Desta forma $q^2 \in \{16,25,36,49,64,81\}$. Pode-se testar cada uma dessas opções, no entanto nota-se que este quadrado perfeito também deve obedecer uma condição. Fazendo $q^2= a_1a_2$ e multiplicando por 11, tem-se: $$\begin{equation} \frac{ \begin{array}[b]{r} \left( a_1 a_2 \right)\\ \times \left( 1 1 \right) \end{array} }{ \left( a_3(a_1+a_2)a_1 = (a0b)_{10}\right) } \end{equation}$$ Logo, $a_1+a_2=10$ e o único quadrado de dois dígitos que satisfaz essa condição é $64$, portanto o número de quatro dígitos é $X^2=11 \times 11 \times 64 = 7744$.

Questão 03 - Teoria dos Números

(Maio-1998) Inês escolheu quatro dígitos distintos do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Formou com eles todos os possíveis números de quatro dígitos distintos e somou todos esses números de quatro dígitos. O resultado é 193314. Encontre os quatro dígitos que Inês escolheu.

Solução:

Um número de quatro dígitos distintos pode gerar até $4!=24$ números distintos apenas mudando de ordem seus dígitos. Se mantermos um dígito numa posição fixa e rearranjarmos os outros, teremos $3!=6$ números, ou seja, cada dígito ocupa uma posição por 6 números. Com a informação da questão podemos escrever:
$$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (a_1a_2a_3a_4)_{10}+(a_1a_3a_2a_4)_{10}+\cdots+(a_4a_3a_2a_1)_{10} } \\ 24 \end{matrix} = 193314$$ $$\begin{matrix} \underbrace{ (10^3a_1+10^2a_2+10a_3+a_4)+(10^3a_1+10^2a_3+10a_2+a_4)+\cdots+(10^3a_4+10^2a_3+10a_2+a_1) } \\ = 193314 \end{matrix}$$
$(6\times10^3a_1+6\times10^2a_1+6\times10a_1+6a_1)+(6\times10^3a_2+6\times10^2a_2+6\times10a_2+6a_2)+\cdots$ $(6\times10^3a_3+6\times10^2a_3+6\times10a_3+6a_3)+(6\times10^3a_4+6\times10^2a_4+6\times10a_4+6a_4) = 193314$
$$a_1\times6666+a_2\times6666+a_3\times6666+a_4\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4)\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4) = 193314/6666 = 29 (i)$$
Os números $a_1,a_2,a_3$ e $a_4$ são inteiros distintos e foram escolhidos dentre $[1,9]$, portanto o valor máximo da soma deles pode ser $9+8+7+6=30$. Desta forma, para a soma dos $4$ dígitos distintos ser $29$ os números escolhidos devem ser $\{5,7,8,9\}$.

Questão 02 - Teoria dos Números

(Noruega-1995) Quantos números naturais são iguais a três vezes a soma de seus algarismos?

Solução:

O número natural pode ter vários dígitos.

Caso 1: Número natural com dois dígitos $N = (a_1a_2)_{10}$

$\therefore (a_1a_2)_{10} = 3(a_1 + a_2) \rightarrow 10a_1 + a_2 = 3a_1 + 3a_2 \rightarrow 7a_1 = 2a_2 (i) $
De (i) percebemos que $2a_2$ deve ser múltiplo de 7 e como $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$ então $a_2$ só pode ser 7, logo, $a_1 = 2$.

Caso 2: Número natural com três dígitos $N = (a_1a_2a_3)_{10}$.

$\therefore (a_1a_2a_3)_{10} = 3(a_1 + a_2 + a_3) \rightarrow 100a_1 + 10a_2 + a_3 = 3a_1 + 3a_2 + 3a_3 \rightarrow 97a_1 + 7a_2 = 2a_3 (ii) $ Como $0 \leq a_3 \leq 9$ então $0 \leq 2a_3 \leq 18$, logo no termo da direita $a_1$ deve ser 0 o que implica que apenas números de dois dígitos exibem a propriedade da questão e, no caso, apenas o número natural 27.

Questão 01 - Teoria dos Números

(Cone Sul-1997) A cada número inteiro positivo $n$, $n \leq 99$, subtrai-se a soma dos quadrados de seus dígitos. Para quais valores de $n$, esta diferença é a maior possível?

Solução:

O número é da forma $(a_1a_2)_{10} $ onde $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$. Subtraindo a soma dos quadrados dos dígitos e chamando de d, tem-se:

$\therefore d = (a_1a_2)_{10} - (a_1^2 + a_2^2) = 10a_1 + a_2 - a_1^2 - a_2^2 = a_1(10-a_1) + a_2(1-a_2)$

Analisando a última expressão, observa-se que o termo com somente $a_2$ será sempre negativo para $a_2 \geq 2$ e nulo quando $a_2 = \{0,1\}$. Para maximar $d$ este termo deve então ser nulo. O termo com $a_1$ assume vários valores. Testando todos os valores possíveis de $a_1$: $$ \begin{matrix} a_1 & a_1(10-a_1) \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 16 \\ 3 & 21 \\ 4 & 24 \\ 5 & 25 \\ 6 & 24 \\ 7 & 21 \\ 8 & 16 \\ 9 & 9 \end{matrix} $$ Portanto, $a_1 = 5$ e $a_2 = 0$ ou $a_2 = 1$ maximizam o valor de $d$, logo, os valores de $n$ são 50 e 51.