Questão 01 - Teoria dos Números

(Cone Sul-1997) A cada número inteiro positivo $n$, $n \leq 99$, subtrai-se a soma dos quadrados de seus dígitos. Para quais valores de $n$, esta diferença é a maior possível?

Solução:

O número é da forma $(a_1a_2)_{10} $ onde $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$. Subtraindo a soma dos quadrados dos dígitos e chamando de d, tem-se:

$\therefore d = (a_1a_2)_{10} - (a_1^2 + a_2^2) = 10a_1 + a_2 - a_1^2 - a_2^2 = a_1(10-a_1) + a_2(1-a_2)$

Analisando a última expressão, observa-se que o termo com somente $a_2$ será sempre negativo para $a_2 \geq 2$ e nulo quando $a_2 = \{0,1\}$. Para maximar $d$ este termo deve então ser nulo. O termo com $a_1$ assume vários valores. Testando todos os valores possíveis de $a_1$: $$ \begin{matrix} a_1 & a_1(10-a_1) \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 16 \\ 3 & 21 \\ 4 & 24 \\ 5 & 25 \\ 6 & 24 \\ 7 & 21 \\ 8 & 16 \\ 9 & 9 \end{matrix} $$ Portanto, $a_1 = 5$ e $a_2 = 0$ ou $a_2 = 1$ maximizam o valor de $d$, logo, os valores de $n$ são 50 e 51.