Bem-vindos!

    Sejam bem-vindos ao Mathematique, um blog que tratará de diversos assuntos dessa nobre arte da matemática e outras ciências ditas exatas. Esse blog é um desejo antigo meu, portanto, espero que gostem e ele sirva ao que se propõem: ajudar no estudo de ciências exatas.

    Como utilizar da melhor maneira o blog?
   O blog é elaborado para servir de um grande repositório de questões de matemática e física, bem como postagens sobre teorias, história e curiosidades do dia dia envolvendo as duas ciências. Os assuntos estão divididos por tópicos no menu ao lado, desta maneira fica mais fácil encontrar o assunto que você deseja estudar. Por exemplo: Se você quiser treinar fazer questões do assunto "Conjuntos", você vai no menu e procura "Questão Conjuntos" e o blog irá mostrar todas as questões desse tópico e suas respostas. Em cada tópico, as questões estão organizadas por título, por exemplo "Questão 07 - Teoria dos números". Quanto maior o número da questão no título maior será o nível de dificuldade (Normalmente), portanto recomendo que comece das questões menores para as maiores (começar pela 01 de cada tópico). No início das questões está indicado de qual prova era a questão para que você possa procurar por questões que mais interessam, por exemplo, questões apenas da "UFPA".

    Procurarei sempre responder aos comentários e dúvidas sobre questões e teorias o mais rápido possível. O blog será atualizado diariamente. O objetivo desse blog é ajudar você na aprovação em vestibulares (ENEM, UFPA, UEPA, IFPA, UFRA, USP, etc.), concursos militares (Colégio Naval, Escola Naval, IME, ITA), concursos públicos e até nos estudos para olimpíadas de matemática (OBM e OBMEP) e física (OBF). Bons estudos!

Questão 10 - Funções

(UFV-1998) Seja a função $f$ definida no conjuntos dos naturais, dada por $f(n+1)= \frac{f(n)}{3}, \ \ f(0)=2$. a) Calcule $f(5)$. b) Qual o menor valor de $n$ para o qual $f(n) < \frac{1}{90}$?

Solução:

a) Testando a fórmula para $n={0,1,2}$ nota-se uma recorrência: $f(1)= \frac{f(0)}{3}$, $f(2)= \frac{f(1)}{3}= \frac{f(0)}{3^2}$ e $f(3)= \frac{f(2)}{3}= \frac{f(0)}{3^3}$. Então a fórmula geral é $f(n)= \frac{f(0)}{3^n}$. Logo: $f(5)= \frac{2}{3^5}$.
b) $$f(n)< \frac{1}{90} \rightarrow \frac{2}{3^n} < \frac{1}{90} \rightarrow 2 \times 90 < 3^n \rightarrow 3^n > 180$$ Então $n=5$.

Questão 09 - Funções

(UFV-1998) Sejam $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $f(x)=-x^2+4x$ e $g(x)=2x$. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de $fog$ e $gof$. Calcule a área desse triângulo.

Solução:

(1) $fog(x)=f(g(x))=-(2x)^2+4 \times 2x=-4x^2+8x$ o valor máximo da função ocorre quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-4)}=1$, ou seja, $fog_{max}=-4 \times 1^2+8 \times 1=4$
(2) $gof=g(f(x))=2(-x^2+4x)=-2x^2+8x$ o valor máximo será quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-2)}=2$, ou seja, $gof_{max}=-2 \times 2^2+8 \times 2=8$
(3) Com catetos $8$ e $4$, a área $A$ do triângulo retângulo é $A= \frac{4 \times 8}{2}=16$

Questão 08 - Funções

(Ciaba-2000) O valor de $m$ na equação $f(x)= x^2-6x+m$ a fim de que uma raiz seja o dobro da outra é: a) $m=12$   b) $m=8$   c) $m=5$    d) $m=4$    e) $m=3$

Resposta letra b.

Solução:

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes. Tomando $x_1=2x_2$ e escrevendo as relações de raízes com os coeficientes da equação do segundo grau:
$\{\begin{array}{ll}x_1+x_2=6\\x_1 \times x_2 =m\end{array} \rightarrow^{x_1=2x_2} \{\begin{array}{ll}x_1+2x_1=6\\x_1 \times 2x_1 =m\end{array} \rightarrow \{\begin{array}{ll}3x_1=6 \rightarrow x_1=2\\2x_1^2 =m \rightarrow m=2 \times 2^2 =8\end{array}$

Questão 07 - Funções

(Ciaba-2005) O intervalo onde a função $f(x)=\frac{ax-2}{ax^2-x}$, com $a \in \mathbb{R}_-^*$, apresenta sinal positivo é a) $]- \infty, \frac{2}{a}[$    b) $]\frac{1}{a}, 0[$    c) $[\frac{1}{a}, + \infty[$    d) $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$    e) $[\frac{2}{a}, 0[$

Resposta letra d.

Solução:

Para a função ser positiva a primeira possibilidade é ambos denominador e numerador serem positivos:
$$ax-2 \geq 0 \rightarrow ax \geq 2 \rightarrow x \leq \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow \frac{1}{a} < x < 0$$ Os dois conjuntos não possuem interseção portanto não há valor de x para essa condição. A segunda possibilidade é ambos numerador e denominador serem negativos o que torna a função positiva. Logo:
$$ax-2 > 0 \rightarrow ax > 2 \rightarrow x > \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow x > 0 \ \ e \ \ x < \frac{1}{a}$$ A interseção dos dois últimos conjuntos é $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$

Questão 06 - Funções

(Unicap-1997) Seja uma função do tipo $f(x)=a x^2 + b x + c$, tal que $f(2x-3)=4 x^2 +5$, qualquer que seja o valor de $x$ real. Determine o valor de $c$.

Solução:

Fazendo $x'= (x+3)/2$ e substituindo esse valor na função tem-se:
$f(x)=4((x+3)/2)^2+5=(x+3)^2+5=x^2+6x+9+5=x^2+6x+14$ Então $c=14$.

Questão 05 - Funções

(Unicap-1996) Se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função não nula, ímpar e periódica de período $p$, então: 0) $f(p)=0$ 1) $f(-x)=f(x-p)$ 2) $f(x)=-f(-x)$ 3) $f(-x)=-f(x+p)$ 4) $f(0)=0$

Solução:

0) Como a função $f$ é periódica então $f(x)=f(x \pm p)$. Fazendo $x=0$ então $f(\pm p)=f(0)$. Como a função é ímpar então $f(-x)=-f(x)$, para $x=0, \ \ f(0)=-f(0)$ $\rightarrow 2f(0)=0 \rightarrow f(0)=0$, portanto, $f(p)=0$. (correta)
1) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x-p)$. (incorreta)
2) Esta alternativa é simplesmente a definição de função ímpar. (correta)
3) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x+p)$. (correta)
4) Esta alternativa está explicada no item 0. (correta)