Questão 07 - Funções

(Ciaba-2005) O intervalo onde a função $f(x)=\frac{ax-2}{ax^2-x}$, com $a \in \mathbb{R}_-^*$, apresenta sinal positivo é a) $]- \infty, \frac{2}{a}[$    b) $]\frac{1}{a}, 0[$    c) $[\frac{1}{a}, + \infty[$    d) $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$    e) $[\frac{2}{a}, 0[$

Resposta letra d.

Solução:

Para a função ser positiva a primeira possibilidade é ambos denominador e numerador serem positivos:
$$ax-2 \geq 0 \rightarrow ax \geq 2 \rightarrow x \leq \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow \frac{1}{a} < x < 0$$ Os dois conjuntos não possuem interseção portanto não há valor de x para essa condição. A segunda possibilidade é ambos numerador e denominador serem negativos o que torna a função positiva. Logo:
$$ax-2 > 0 \rightarrow ax > 2 \rightarrow x > \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow x > 0 \ \ e \ \ x < \frac{1}{a}$$ A interseção dos dois últimos conjuntos é $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$