Questão 05 - Funções

(Unicap-1996) Se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função não nula, ímpar e periódica de período $p$, então: 0) $f(p)=0$ 1) $f(-x)=f(x-p)$ 2) $f(x)=-f(-x)$ 3) $f(-x)=-f(x+p)$ 4) $f(0)=0$

Solução:

0) Como a função $f$ é periódica então $f(x)=f(x \pm p)$. Fazendo $x=0$ então $f(\pm p)=f(0)$. Como a função é ímpar então $f(-x)=-f(x)$, para $x=0, \ \ f(0)=-f(0)$ $\rightarrow 2f(0)=0 \rightarrow f(0)=0$, portanto, $f(p)=0$. (correta)
1) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x-p)$. (incorreta)
2) Esta alternativa é simplesmente a definição de função ímpar. (correta)
3) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x+p)$. (correta)
4) Esta alternativa está explicada no item 0. (correta)