Questão 10 - Funções

(UFV-1998) Seja a função $f$ definida no conjuntos dos naturais, dada por $f(n+1)= \frac{f(n)}{3}, \ \ f(0)=2$. a) Calcule $f(5)$. b) Qual o menor valor de $n$ para o qual $f(n) < \frac{1}{90}$?

Solução:

a) Testando a fórmula para $n={0,1,2}$ nota-se uma recorrência: $f(1)= \frac{f(0)}{3}$, $f(2)= \frac{f(1)}{3}= \frac{f(0)}{3^2}$ e $f(3)= \frac{f(2)}{3}= \frac{f(0)}{3^3}$. Então a fórmula geral é $f(n)= \frac{f(0)}{3^n}$. Logo: $f(5)= \frac{2}{3^5}$.
b) $$f(n)< \frac{1}{90} \rightarrow \frac{2}{3^n} < \frac{1}{90} \rightarrow 2 \times 90 < 3^n \rightarrow 3^n > 180$$ Então $n=5$.