Questão 09 - Funções

(UFV-1998) Sejam $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $f(x)=-x^2+4x$ e $g(x)=2x$. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de $fog$ e $gof$. Calcule a área desse triângulo.

Solução:

(1) $fog(x)=f(g(x))=-(2x)^2+4 \times 2x=-4x^2+8x$ o valor máximo da função ocorre quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-4)}=1$, ou seja, $fog_{max}=-4 \times 1^2+8 \times 1=4$
(2) $gof=g(f(x))=2(-x^2+4x)=-2x^2+8x$ o valor máximo será quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-2)}=2$, ou seja, $gof_{max}=-2 \times 2^2+8 \times 2=8$
(3) Com catetos $8$ e $4$, a área $A$ do triângulo retângulo é $A= \frac{4 \times 8}{2}=16$