(Noruega-1995) Quantos números naturais são iguais a três vezes a soma de seus algarismos?
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Solução:
O número natural pode ter vários dígitos.
De (i) percebemos que $2a_2$ deve ser múltiplo de 7 e como $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$ então $a_2$ só pode ser 7, logo, $a_1 = 2$.
Caso 1: Número natural com dois dígitos $N = (a_1a_2)_{10}$
$\therefore (a_1a_2)_{10} = 3(a_1 + a_2) \rightarrow 10a_1 + a_2 = 3a_1 + 3a_2 \rightarrow 7a_1 = 2a_2 (i) $
De (i) percebemos que $2a_2$ deve ser múltiplo de 7 e como $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$ então $a_2$ só pode ser 7, logo, $a_1 = 2$.
Caso 2: Número natural com três dígitos $N = (a_1a_2a_3)_{10}$.
$\therefore (a_1a_2a_3)_{10} = 3(a_1 + a_2 + a_3) \rightarrow 100a_1 + 10a_2 + a_3 = 3a_1 + 3a_2 + 3a_3 \rightarrow 97a_1 + 7a_2 = 2a_3 (ii) $
Como $0 \leq a_3 \leq 9$ então $0 \leq 2a_3 \leq 18$, logo no termo da direita $a_1$ deve ser 0 o que implica que apenas números de dois dígitos exibem a propriedade da questão e, no caso, apenas o número natural 27.
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