Questão 03 - Teoria dos Números

(Maio-1998) Inês escolheu quatro dígitos distintos do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Formou com eles todos os possíveis números de quatro dígitos distintos e somou todos esses números de quatro dígitos. O resultado é 193314. Encontre os quatro dígitos que Inês escolheu.

Solução:

Um número de quatro dígitos distintos pode gerar até $4!=24$ números distintos apenas mudando de ordem seus dígitos. Se mantermos um dígito numa posição fixa e rearranjarmos os outros, teremos $3!=6$ números, ou seja, cada dígito ocupa uma posição por 6 números. Com a informação da questão podemos escrever:
$$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (a_1a_2a_3a_4)_{10}+(a_1a_3a_2a_4)_{10}+\cdots+(a_4a_3a_2a_1)_{10} } \\ 24 \end{matrix} = 193314$$ $$\begin{matrix} \underbrace{ (10^3a_1+10^2a_2+10a_3+a_4)+(10^3a_1+10^2a_3+10a_2+a_4)+\cdots+(10^3a_4+10^2a_3+10a_2+a_1) } \\ = 193314 \end{matrix}$$
$(6\times10^3a_1+6\times10^2a_1+6\times10a_1+6a_1)+(6\times10^3a_2+6\times10^2a_2+6\times10a_2+6a_2)+\cdots$ $(6\times10^3a_3+6\times10^2a_3+6\times10a_3+6a_3)+(6\times10^3a_4+6\times10^2a_4+6\times10a_4+6a_4) = 193314$
$$a_1\times6666+a_2\times6666+a_3\times6666+a_4\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4)\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4) = 193314/6666 = 29 (i)$$
Os números $a_1,a_2,a_3$ e $a_4$ são inteiros distintos e foram escolhidos dentre $[1,9]$, portanto o valor máximo da soma deles pode ser $9+8+7+6=30$. Desta forma, para a soma dos $4$ dígitos distintos ser $29$ os números escolhidos devem ser $\{5,7,8,9\}$.