Questão 07 - Teoria dos Números

(Rio Grande do Norte-2001) Existem quantos inteiros positivos de dois algarismo que a diferença entre o inteiro e o produto de seus algarismos seja 12?

Solução:

$\therefore (ab)_10 - a \times b = 12 \rightarrow (10a+b)-a \times b = 12 \rightarrow a(10-b)+b=12 \rightarrow a(10-b)+b-10=2$ $$ (10-b)(a-1)=2 \ \ (i) $$
Analisando (i) pode-se concluir que existem duas possibilidades:
\begin{cases} 10-b=2 \rightarrow b=8\\ a-1=1 \rightarrow a=2 \end{cases}
\begin{cases} 10-b=1 \rightarrow b=9\\ a-1=2 \rightarrow a=3 \end{cases}