Questão 08 - Conjuntos

(Ciaba-1996) Dados os conjuntos: $A=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x \leq 4\}$ $B=\{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x < 3\}$ $C=\{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5\}$ $D=\{x \in \mathbb{R} |  x \geq 0\}$ O resultado de $(A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B)$ é:  a) $[3,4]$        b) $]-2,-1[ \cup [3,4]$      c) $[-2,-1] \cup [3,5[$      d) $]-2,4] \cup [5,+\infty[$ e) $]-3,-1]$

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando álgebra de conjuntos na expressão que se deseja saber o resultado, tem-se:
$\therefore (A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B) = [A \cap (C-B)] \cup [D \cap (A-B)] = [A \cap (C \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})]$ $ \rightarrow [C \cap (A \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})] = (C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})$

Analisando os conjuntos fornecidos tem-se que $C \cup D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq -3\}$. $\overline{B}=\{x < -1 \ \ e \ \ x \geq 3\}$ o que faz com que $A \cap \overline{B}=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$, logo, $(C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$ ou $]-2,-1[ \cup [3,4]$.