Questão 06 - Teoria dos Números

(São Paulo-1997) Prove que se o quadrado de um número de dois algarismos, escrito na base 10, é subtraído do quadrado do número formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa, então o resultado é um número divisível por 11.

Solução:

Deve-se provar que $(ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = 11k$, onde $k \in \mathbb{Z}$.
$$\therefore (ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = (10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (100a^2+20ab+b^2) - (100b^2+20ba+a^2) =$$ $$100(a^2-b^2)+(b^2-a^2) = (a^2-b^2)(100-1) = 99(a^2-b^2) = 11 \times 9(a^2-b^2) = 11k, k \in \mathbb{Z}$$