Questão 04 - Teoria dos Números

(Brasília-1986) Determine um número de 4 dígitos, sabendo que seus dois primeiros dígitos são iguais, que seus dois últimos dígitos também são iguais e que o número é um quadrado perfeito .

Solução:

Segundo a informação dada na questão tem-se que:
$$\therefore (aabb)_{10} = X^2 \rightarrow 1100\times a + 11\times b=X^2 \rightarrow 11\times(100 \times a + b) = X^2$$ $$11 \times (a0b)_{10} = X^2 (i)$$ Para que (i) seja um quadrado perfeito então $(a0b)_{10}$ deve ser da forma $11\times q^2 (ii)$, onde $q \in \mathbb{Z}$.O inteiro $q^2$ é um quadrado perfeito de dois dígitos, pois após multiplicar por 11 o número final deve ter 3 dígitos e ser da forma $(a0b)_{10}$. Desta forma $q^2 \in \{16,25,36,49,64,81\}$. Pode-se testar cada uma dessas opções, no entanto nota-se que este quadrado perfeito também deve obedecer uma condição. Fazendo $q^2= a_1a_2$ e multiplicando por 11, tem-se: $$\begin{equation} \frac{ \begin{array}[b]{r} \left( a_1 a_2 \right)\\ \times \left( 1 1 \right) \end{array} }{ \left( a_3(a_1+a_2)a_1 = (a0b)_{10}\right) } \end{equation}$$ Logo, $a_1+a_2=10$ e o único quadrado de dois dígitos que satisfaz essa condição é $64$, portanto o número de quatro dígitos é $X^2=11 \times 11 \times 64 = 7744$.