Questão 05 - Teoria dos Números

(Goiás-1987) Determine a soma dos algarismos do número $(99...995)^2$, onde o número $99...995$ tem $99$ dígitos iguais a $9$.

Solução:

$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (99 \cdots 995)^2 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} = (\begin{matrix} \underbrace{ 10 \cdots 00 } \\ 100 \ \ 0's \end{matrix} - 5)^2 = (10^{100} - 5)^2 = (10^{100})^2 - 2 \times 5 \times 10^{100} + 5^2 =$

$\rightarrow 10^{200} - 10^{101} + 25 = \begin{matrix} \underbrace{ 99 \cdots 99 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} 000 \cdots 25$

Desta forma, a soma dos dígitos é $99 \times 9 + 2 + 5 = 898$.