Questão 10 - Funções

(UFV-1998) Seja a função $f$ definida no conjuntos dos naturais, dada por $f(n+1)= \frac{f(n)}{3}, \ \ f(0)=2$. a) Calcule $f(5)$. b) Qual o menor valor de $n$ para o qual $f(n) < \frac{1}{90}$?

Solução:

a) Testando a fórmula para $n={0,1,2}$ nota-se uma recorrência: $f(1)= \frac{f(0)}{3}$, $f(2)= \frac{f(1)}{3}= \frac{f(0)}{3^2}$ e $f(3)= \frac{f(2)}{3}= \frac{f(0)}{3^3}$. Então a fórmula geral é $f(n)= \frac{f(0)}{3^n}$. Logo: $f(5)= \frac{2}{3^5}$.
b) $$f(n)< \frac{1}{90} \rightarrow \frac{2}{3^n} < \frac{1}{90} \rightarrow 2 \times 90 < 3^n \rightarrow 3^n > 180$$ Então $n=5$.

Questão 09 - Funções

(UFV-1998) Sejam $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $f(x)=-x^2+4x$ e $g(x)=2x$. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de $fog$ e $gof$. Calcule a área desse triângulo.

Solução:

(1) $fog(x)=f(g(x))=-(2x)^2+4 \times 2x=-4x^2+8x$ o valor máximo da função ocorre quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-4)}=1$, ou seja, $fog_{max}=-4 \times 1^2+8 \times 1=4$
(2) $gof=g(f(x))=2(-x^2+4x)=-2x^2+8x$ o valor máximo será quando $x= \frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2(-2)}=2$, ou seja, $gof_{max}=-2 \times 2^2+8 \times 2=8$
(3) Com catetos $8$ e $4$, a área $A$ do triângulo retângulo é $A= \frac{4 \times 8}{2}=16$

Questão 08 - Funções

(Ciaba-2000) O valor de $m$ na equação $f(x)= x^2-6x+m$ a fim de que uma raiz seja o dobro da outra é: a) $m=12$   b) $m=8$   c) $m=5$    d) $m=4$    e) $m=3$

Resposta letra b.

Solução:

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes. Tomando $x_1=2x_2$ e escrevendo as relações de raízes com os coeficientes da equação do segundo grau:
$\{\begin{array}{ll}x_1+x_2=6\\x_1 \times x_2 =m\end{array} \rightarrow^{x_1=2x_2} \{\begin{array}{ll}x_1+2x_1=6\\x_1 \times 2x_1 =m\end{array} \rightarrow \{\begin{array}{ll}3x_1=6 \rightarrow x_1=2\\2x_1^2 =m \rightarrow m=2 \times 2^2 =8\end{array}$

Questão 07 - Funções

(Ciaba-2005) O intervalo onde a função $f(x)=\frac{ax-2}{ax^2-x}$, com $a \in \mathbb{R}_-^*$, apresenta sinal positivo é a) $]- \infty, \frac{2}{a}[$    b) $]\frac{1}{a}, 0[$    c) $[\frac{1}{a}, + \infty[$    d) $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$    e) $[\frac{2}{a}, 0[$

Resposta letra d.

Solução:

Para a função ser positiva a primeira possibilidade é ambos denominador e numerador serem positivos:
$$ax-2 \geq 0 \rightarrow ax \geq 2 \rightarrow x \leq \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow \frac{1}{a} < x < 0$$ Os dois conjuntos não possuem interseção portanto não há valor de x para essa condição. A segunda possibilidade é ambos numerador e denominador serem negativos o que torna a função positiva. Logo:
$$ax-2 > 0 \rightarrow ax > 2 \rightarrow x > \frac{2}{a}$$ $$ax^2-x > 0 \rightarrow x > 0 \ \ e \ \ x < \frac{1}{a}$$ A interseção dos dois últimos conjuntos é $]\frac{2}{a}, \frac{1}{a}[$

Questão 06 - Funções

(Unicap-1997) Seja uma função do tipo $f(x)=a x^2 + b x + c$, tal que $f(2x-3)=4 x^2 +5$, qualquer que seja o valor de $x$ real. Determine o valor de $c$.

Solução:

Fazendo $x'= (x+3)/2$ e substituindo esse valor na função tem-se:
$f(x)=4((x+3)/2)^2+5=(x+3)^2+5=x^2+6x+9+5=x^2+6x+14$ Então $c=14$.

Questão 05 - Funções

(Unicap-1996) Se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função não nula, ímpar e periódica de período $p$, então: 0) $f(p)=0$ 1) $f(-x)=f(x-p)$ 2) $f(x)=-f(-x)$ 3) $f(-x)=-f(x+p)$ 4) $f(0)=0$

Solução:

0) Como a função $f$ é periódica então $f(x)=f(x \pm p)$. Fazendo $x=0$ então $f(\pm p)=f(0)$. Como a função é ímpar então $f(-x)=-f(x)$, para $x=0, \ \ f(0)=-f(0)$ $\rightarrow 2f(0)=0 \rightarrow f(0)=0$, portanto, $f(p)=0$. (correta)
1) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x-p)$. (incorreta)
2) Esta alternativa é simplesmente a definição de função ímpar. (correta)
3) $f(-x)=-f(x)$ como a função é periódica $f(-x)=-f(x+p)$. (correta)
4) Esta alternativa está explicada no item 0. (correta)

Questão 04 - Funções

(UFPB-1994) Considere as funções $f$ e $g$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)= \{\begin{array}{ll}g(x+2),\ \ se\ \ x<0\\2x+5,\ \ se\ \  x\geq 0\end{array} \ \ g(x)= \{\begin{array}{ll}f(x+1),\ \ se\ \ x<0\\x^2,\ \ se\ \  x\geq 0\end{array}$$ Calcule $f(-3)$.

Solução:

$$x=-3<0, \ \ f(-3)=g(-3+2)=g(-1)$$ $$x=-1<0, \ \ g(-1)=f(-1+1)=f(0)$$ $$x=0 \geq 0, \ \ f(0)=2 \times 0 + 5=5$$

Questão 03 - Funções

(UFPB-1997) Sejam $f$ e $g$ funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tais que $f(g(x))=2x$ e $f(x)=4x+1$. Calcule $g(1)$.

Solução:

Substituindo $g(x)$ na função $f(x)$, tem-se:
$$f(g(x))=4g(x)+1=2x \rightarrow g(x)=(2x-1)/4$$ Fazendo $x=1$: $g(1)=(2 \times 1-1)/4=1/4$

Questão 02 - Funções

(PUC-MG-1993) O teto com um túnel parabólico com eixo de simetria vertical, tem altura máxima de 6 m e largura da base igual a 4 m. Calcule a altura do teto do túnel a 1 m do eixo de simetria.

Solução:

Tomando um eixo de coordenadas onde eixo y coincide com o de simetria da parábola e o eixo x com a base, conforme figura, tem-se que as raízes da parábola serão $x=2$ e $x=-2$. A equação da parábola será da forma $y=a(x-2)(x+2) \ \ (i)$. Para descobrir o $a$ basta tomar o ponto $(x,y)=(0,6)$:
$$(0,6) \ \ em \ \ (i): 6=a \times 2 \times (-2) \rightarrow 6=(-4) \times a \rightarrow a=-3/2$$ A altura $y$ a 1 metro do eixo de simetria ($x=1$ ou $x=-1$), tem-se que o valor de $y$ é: $$y=(-3/2) \times (-1) \times 3 = 9/2 = 4,5 \ \ m$$

Questão 01 - Funções

(UFES-2005) Sendo $f$ uma função definida por $f(x-1)=2f(x)+f(x+1)$, tal que $f(0)=2$ e $f(1)=-1$, o valor de $|f(3)|$ é: a) 1         b) 3       c) 16       d) 8       e) 9

Resposta letra e.

Solução:

Fazendo $x=1$ na recorrência dada e substituindo os valores fornecidos, tem-se:

$x=1 \rightarrow f(0)=2f(1)+f(2) \rightarrow f(2)=f(0)-2f(1)=2-2 \times (-1)=4$

Agora fazendo $x=2$:

$x=2 \rightarrow f(1)=2f(2)+f(3) \rightarrow f(3)=f(1)-2f(2)=-1-2 \times 4=-9 \rightarrow |f(3)|=9$

Questão 12 - Conjuntos

(ESPM-2004) Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60;         b) 80;       c) 100;       d) 120;       e) 140

Resposta letra b.

Solução:

Denominando os conjuntos por $A=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ A\}$, $B=\{x|x \ \ lê \ \ jornal \ \ B\}$ e $N=\{x|x \ \ não \ \ lê \ \ jornal\}$, tem-se que:
$\therefore n(A \cup B) = n(U) - n(N) = 800 - 120 = 680 $ $\ \ ; \ \ \{\begin{array}{ll}n(A) = 0,35 \times 800 = 280\\n(B) = 0,60 \times 800 = 480\end{array}$
Da fórmula de número de elementos da união de conjuntos: $\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \rightarrow 680 = 480 + 280 - n(A \cap B)$ $\rightarrow n(A \cap B) = 760 - 680 = 80$

Questão 11 - Conjuntos

(EEAR-2004) No diagrama, a região em verde é o conjunto: a) complementar de $(M \cup N)$ em relação a U. b) complementar de $(M-N)$ em relação a U. c) complementar de $(M \cap N)$ em relação a U. d) $(M-N) \cup (N-M))$

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto em verde é complementar do conjunto em branco. O conjunto em branco é descrito como $\{x|x \in M \ \ e \ \ x \notin N\}=M \cap \overline{N}=M-N$, logo, o conjunto é complementar de $M-N$.

Questão 10 - Conjuntos

(EEAR-2004) A região assinalada no diagrama corresponde a: a) $(B \cup C) \cap A$                          b) $(B \cap C) \cup A$ c) $(A-B) \cap C$                          d) $C-(A \cap B)$

Resposta letra c.

Solução:

A região colorida pode ser descrita em termos de conjuntos da seguinte maneira $M = \{x | (x \in A \ \ e \ \ x \in C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \{x | (x \in A \cap C) \ \ e \ \ x \notin B\} = \overline{B} \cap (A \cap C)$ $\rightarrow (A \cap \overline{B}) \cap C = (A-B) \cap C$.

Questão 09 - Conjuntos

(UFPE-2003) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados, consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: - 310 pessoas compram o produto A; - 220 pessoas compram o produto B; - 110 pessoas compram os produtos A e B; - 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Indique o número de consumidores entrevistados divididos por 10.

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando a fórmula para calcular o número de elementos da união do conjunto dos que compraram produto A (Conjunto A) com o conjunto dos que compraram produto B (Conjunto B), tem-se:
$\therefore n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \ \ \rightarrow \ \ n(A \cup B) = 310 + 220 - 110 = 420 $
O número total de pessoas que compraram algum produto é 420. O número total de entrevistados será 420 + 510 = 930 pessoas.

Questão 08 - Conjuntos

(Ciaba-1996) Dados os conjuntos: $A=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x \leq 4\}$ $B=\{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x < 3\}$ $C=\{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5\}$ $D=\{x \in \mathbb{R} |  x \geq 0\}$ O resultado de $(A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B)$ é:  a) $[3,4]$        b) $]-2,-1[ \cup [3,4]$      c) $[-2,-1] \cup [3,5[$      d) $]-2,4] \cup [5,+\infty[$ e) $]-3,-1]$

Resposta letra b.

Solução:

Utilizando álgebra de conjuntos na expressão que se deseja saber o resultado, tem-se:
$\therefore (A \cap \complement _C B) \cup (D \cap \complement _A B) = [A \cap (C-B)] \cup [D \cap (A-B)] = [A \cap (C \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})]$ $ \rightarrow [C \cap (A \cap \overline{B})] \cup [D \cap (A \cap \overline{B})] = (C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})$

Analisando os conjuntos fornecidos tem-se que $C \cup D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq -3\}$. $\overline{B}=\{x < -1 \ \ e \ \ x \geq 3\}$ o que faz com que $A \cap \overline{B}=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$, logo, $(C \cup D) \cap (A \cap \overline{B})=\{-2 < x < -1 \ \ e \ \ 3 \leq x \geq 4 \}$ ou $]-2,-1[ \cup [3,4]$.

Questão 07 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja os conjuntos $A = \{ x \in \mathbb{N} | \ \ x \ \ é \ \ múltiplo \ \ de \ \ 2 \}$, $B = \{ x \in \mathbb{Z} | -2 < x \leq 9 \}$ e $C = \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 5 \}$. A soma dos elementos que formam o conjunto $(A \cap B)-C$ é: a) 9       b) 6       c) 3      d) 1

Resposta letra b.

Solução:

O conjunto $A$ é formado por todos os pares tal que em intersecção com o conjunto $B$ forma $A \cap B = \{2,4,6,8\}$. O conjunto $C$ é formado por todos os reais maiores ou iguais a 5 o que faz com que $(A \cap B)-C = \{2,4\}$, logo, a soma dos elementos é 6.

Questão 06 - Conjuntos

(EEAR-2002) Seja $P$ o conjunto dos retângulos, $Q$ o conjunto dos quadrados e $L$ o conjunto dos losangos. É correto afirmar que: a) $L \cap P = L - P$        b) $L \cap Q = L - Q$         c) $L \cap Q = P$        d) $L \cap P = Q$

Resposta letra d.

Solução:

Definição de Retângulo: quadrilátero cujo ângulos são retos. Definição de Quadrado: quadrilátero que tem os lados e ângulos iguais. Definição de Losango: quadrilátero cujo lados são iguais. Segundo essas definições pode-se concluir que: $(i) \ \ Q \subset L$ e $(ii) \ \ Q \subset R$. Logo, $L \cap P = Q$.

Questão 05 - Conjuntos

(EEAR-2002) Dados os conjuntos $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ e $C=\{1,2,5\}$. Ao determinar o conjunto $M$, tal que: $A \cup M  =  \{1,2,3,4\}$, $B \cup M  =  \{3,4,5\}$ e $C \cup M  =  A \cup B$, pode-se concluir que $M$ é um conjunto: a) vazio        b) unitário        c) que possui dois elementos        d) que possui três elementos

Resposta letra c.

Solução:

Comparando os conjuntos $A \cup M$ e $B \cup M$ nota-se que $1 \notin M$ pois caso estivesse este elemento apareceria em $B \cup M$. Podemos concluir também dessa comparação que $5 \notin M$ pois caso pertencesse este elemento apareceria em $A \cup M$. O conjunto $A \cup B$ é ${1,2,3,4,5}$, então $(C \cup M)-C=\{3,4\}$, logo $C=\{3,4\}$.

Questão 07 - Teoria dos Números

(Rio Grande do Norte-2001) Existem quantos inteiros positivos de dois algarismo que a diferença entre o inteiro e o produto de seus algarismos seja 12?

Solução:

$\therefore (ab)_10 - a \times b = 12 \rightarrow (10a+b)-a \times b = 12 \rightarrow a(10-b)+b=12 \rightarrow a(10-b)+b-10=2$ $$ (10-b)(a-1)=2 \ \ (i) $$
Analisando (i) pode-se concluir que existem duas possibilidades:
\begin{cases} 10-b=2 \rightarrow b=8\\ a-1=1 \rightarrow a=2 \end{cases}
\begin{cases} 10-b=1 \rightarrow b=9\\ a-1=2 \rightarrow a=3 \end{cases}

Questão 06 - Teoria dos Números

(São Paulo-1997) Prove que se o quadrado de um número de dois algarismos, escrito na base 10, é subtraído do quadrado do número formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa, então o resultado é um número divisível por 11.

Solução:

Deve-se provar que $(ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = 11k$, onde $k \in \mathbb{Z}$.
$$\therefore (ab)_{10}^2 - (ba)_{10}^2 = (10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (100a^2+20ab+b^2) - (100b^2+20ba+a^2) =$$ $$100(a^2-b^2)+(b^2-a^2) = (a^2-b^2)(100-1) = 99(a^2-b^2) = 11 \times 9(a^2-b^2) = 11k, k \in \mathbb{Z}$$

Questão 05 - Teoria dos Números

(Goiás-1987) Determine a soma dos algarismos do número $(99...995)^2$, onde o número $99...995$ tem $99$ dígitos iguais a $9$.

Solução:

$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (99 \cdots 995)^2 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} = (\begin{matrix} \underbrace{ 10 \cdots 00 } \\ 100 \ \ 0's \end{matrix} - 5)^2 = (10^{100} - 5)^2 = (10^{100})^2 - 2 \times 5 \times 10^{100} + 5^2 =$

$\rightarrow 10^{200} - 10^{101} + 25 = \begin{matrix} \underbrace{ 99 \cdots 99 } \\ 99 \ \ 9's \end{matrix} 000 \cdots 25$

Desta forma, a soma dos dígitos é $99 \times 9 + 2 + 5 = 898$.

Questão 04 - Teoria dos Números

(Brasília-1986) Determine um número de 4 dígitos, sabendo que seus dois primeiros dígitos são iguais, que seus dois últimos dígitos também são iguais e que o número é um quadrado perfeito .

Solução:

Segundo a informação dada na questão tem-se que:
$$\therefore (aabb)_{10} = X^2 \rightarrow 1100\times a + 11\times b=X^2 \rightarrow 11\times(100 \times a + b) = X^2$$ $$11 \times (a0b)_{10} = X^2 (i)$$ Para que (i) seja um quadrado perfeito então $(a0b)_{10}$ deve ser da forma $11\times q^2 (ii)$, onde $q \in \mathbb{Z}$.O inteiro $q^2$ é um quadrado perfeito de dois dígitos, pois após multiplicar por 11 o número final deve ter 3 dígitos e ser da forma $(a0b)_{10}$. Desta forma $q^2 \in \{16,25,36,49,64,81\}$. Pode-se testar cada uma dessas opções, no entanto nota-se que este quadrado perfeito também deve obedecer uma condição. Fazendo $q^2= a_1a_2$ e multiplicando por 11, tem-se: $$\begin{equation} \frac{ \begin{array}[b]{r} \left( a_1 a_2 \right)\\ \times \left( 1 1 \right) \end{array} }{ \left( a_3(a_1+a_2)a_1 = (a0b)_{10}\right) } \end{equation}$$ Logo, $a_1+a_2=10$ e o único quadrado de dois dígitos que satisfaz essa condição é $64$, portanto o número de quatro dígitos é $X^2=11 \times 11 \times 64 = 7744$.

Questão 03 - Teoria dos Números

(Maio-1998) Inês escolheu quatro dígitos distintos do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Formou com eles todos os possíveis números de quatro dígitos distintos e somou todos esses números de quatro dígitos. O resultado é 193314. Encontre os quatro dígitos que Inês escolheu.

Solução:

Um número de quatro dígitos distintos pode gerar até $4!=24$ números distintos apenas mudando de ordem seus dígitos. Se mantermos um dígito numa posição fixa e rearranjarmos os outros, teremos $3!=6$ números, ou seja, cada dígito ocupa uma posição por 6 números. Com a informação da questão podemos escrever:
$$\therefore \begin{matrix} \underbrace{ (a_1a_2a_3a_4)_{10}+(a_1a_3a_2a_4)_{10}+\cdots+(a_4a_3a_2a_1)_{10} } \\ 24 \end{matrix} = 193314$$ $$\begin{matrix} \underbrace{ (10^3a_1+10^2a_2+10a_3+a_4)+(10^3a_1+10^2a_3+10a_2+a_4)+\cdots+(10^3a_4+10^2a_3+10a_2+a_1) } \\ = 193314 \end{matrix}$$
$(6\times10^3a_1+6\times10^2a_1+6\times10a_1+6a_1)+(6\times10^3a_2+6\times10^2a_2+6\times10a_2+6a_2)+\cdots$ $(6\times10^3a_3+6\times10^2a_3+6\times10a_3+6a_3)+(6\times10^3a_4+6\times10^2a_4+6\times10a_4+6a_4) = 193314$
$$a_1\times6666+a_2\times6666+a_3\times6666+a_4\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4)\times6666 = 193314$$ $$(a_1+a_2+a_3+a_4) = 193314/6666 = 29 (i)$$
Os números $a_1,a_2,a_3$ e $a_4$ são inteiros distintos e foram escolhidos dentre $[1,9]$, portanto o valor máximo da soma deles pode ser $9+8+7+6=30$. Desta forma, para a soma dos $4$ dígitos distintos ser $29$ os números escolhidos devem ser $\{5,7,8,9\}$.

Questão 02 - Teoria dos Números

(Noruega-1995) Quantos números naturais são iguais a três vezes a soma de seus algarismos?

Solução:

O número natural pode ter vários dígitos.

Caso 1: Número natural com dois dígitos $N = (a_1a_2)_{10}$

$\therefore (a_1a_2)_{10} = 3(a_1 + a_2) \rightarrow 10a_1 + a_2 = 3a_1 + 3a_2 \rightarrow 7a_1 = 2a_2 (i) $
De (i) percebemos que $2a_2$ deve ser múltiplo de 7 e como $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$ então $a_2$ só pode ser 7, logo, $a_1 = 2$.

Caso 2: Número natural com três dígitos $N = (a_1a_2a_3)_{10}$.

$\therefore (a_1a_2a_3)_{10} = 3(a_1 + a_2 + a_3) \rightarrow 100a_1 + 10a_2 + a_3 = 3a_1 + 3a_2 + 3a_3 \rightarrow 97a_1 + 7a_2 = 2a_3 (ii) $ Como $0 \leq a_3 \leq 9$ então $0 \leq 2a_3 \leq 18$, logo no termo da direita $a_1$ deve ser 0 o que implica que apenas números de dois dígitos exibem a propriedade da questão e, no caso, apenas o número natural 27.

Questão 01 - Teoria dos Números

(Cone Sul-1997) A cada número inteiro positivo $n$, $n \leq 99$, subtrai-se a soma dos quadrados de seus dígitos. Para quais valores de $n$, esta diferença é a maior possível?

Solução:

O número é da forma $(a_1a_2)_{10} $ onde $0 \leq a_1,a_2 \leq 9$. Subtraindo a soma dos quadrados dos dígitos e chamando de d, tem-se:

$\therefore d = (a_1a_2)_{10} - (a_1^2 + a_2^2) = 10a_1 + a_2 - a_1^2 - a_2^2 = a_1(10-a_1) + a_2(1-a_2)$

Analisando a última expressão, observa-se que o termo com somente $a_2$ será sempre negativo para $a_2 \geq 2$ e nulo quando $a_2 = \{0,1\}$. Para maximar $d$ este termo deve então ser nulo. O termo com $a_1$ assume vários valores. Testando todos os valores possíveis de $a_1$: $$ \begin{matrix} a_1 & a_1(10-a_1) \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 16 \\ 3 & 21 \\ 4 & 24 \\ 5 & 25 \\ 6 & 24 \\ 7 & 21 \\ 8 & 16 \\ 9 & 9 \end{matrix} $$ Portanto, $a_1 = 5$ e $a_2 = 0$ ou $a_2 = 1$ maximizam o valor de $d$, logo, os valores de $n$ são 50 e 51.

Questão 04 - Conjuntos

(Ciaba-1995) Seja $ A= [3,4[ $, $ B= [-1,5[ $ e $ C= ]2,5[ $. O Conjunto $ \complement _B A \cup (C - A)$ é: a) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x < 3  \cup  4 \leq x < 5 \}$ b) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 < x \leq 3  \cup  4 \leq x \leq 5 \}$ c) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x \leq 3  \cup  4 < x \leq 5 \}$ d) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 < x < 3  \cup  4 < x < 5 \}$ e) $ \{x \in \mathbb{R} / -1 \leq x \leq 3  \cup  4 \leq x \leq 5 \}$

Resposta letra a.

Solução:

O Conjunto $\complement _B A$ é igual a $B-A$, ou seja, $[1,3[ \cup [4,5[$. Já o Conjunto $C-A$ é igual a $\emptyset$. Logo, a expressão fica: $ \complement _B A \cup (C - A) = \complement _B A \cup \emptyset = \complement _B A $.

Questão 03 - Conjuntos

(Ciaba-1994) Seja $ A= \{1,\{2\},\{1,2\}\}$. Considere as afirmações: (I)   $1 \in A$ (II)  $2 \in A$ (III)  $\emptyset \in A$ (IV)  $\{1,2\} \subset A$ Estão corretas as afirmações: a) I e II     b) I e III     c) III e IV d) III         e) I

Resposta letra e.

Solução:

Analisando cada item:
(I) O elemento 1 pertence ao conjunto A. (correta)
(II) O elemento 2 não pertence ao conjunto A e sim o elemento {2}. Importante notar que $2 \neq \{2\}$, pois o primeiro é um número e o segundo um conjunto. (errada)
(III) $ \emptyset $ não pertence ao conjunto A. Todo conjunto $ \emptyset $ está contido a um conjunto qualquer, no entanto, para pertencer ele deveria estar na lista, por exemplo: $A= \{1,\{2\},\{1,2\},\{\}\}$ ou $A= \{1,\{2\},\{1,2\},\emptyset\}$ (errada)
(IV) O conjunto $\{1,2\}$ não está contido no conjunto pois, embora o elemento 1 pertença a A, o elemento 2 não pertence (vide explicação II). (errada)

Questão 02 - Conjuntos

(Cefet/PR-2004) Marque a alternativa que possui a expressão que representa a região sombreada no Diagrama de Venn abaixo: a)  $ (A \cup B) \cap (A \cup C) $ b)  $ (A \cap B) \cup (A \cup C) $ c)  $ (A \cup B) \cup A  $ d)  $ A \cup (B \cup C)  $ e)  $ (A \cup B) \cap (B \cup C) $

Resposta letra a.

Solução:

Analisando as alternativas dadas pode-se perceber que a alternativa a representa corretamente a área sombreada simplesmente utilizando a propriedade distributiva de conjuntos na expressão fornecida: $ (A \cup B) \cap (A \cup C) \leftrightarrow A \cup (B \cap C)$